كيف تحسب مجاميع متتاليات غير مألوفة
T_n = Σ f(V_k) → تحويل لأساسية
| المجموع المطلوب | الفكرة (التحويل) |
|---|---|
| ln(v_0) + ln(v_1) + ... | تحويل المجاميع لـ $\ln(v_0 \times v_1 \times ...)$ لحساب جداء هندسي |
| v_0^2 + v_1^2 + ... | هندسية جديدة أساسها $q^2$ |
| (1)/(v_0) + (1)/(v_1) + ... | غالباً حسابية جديدة أساسها $-r$ أو $1/r$ (استخرجها من المعطيات) |
الحل خطوة بخطوة
V_n = 2 × 3^n (هندسية)
1
S_n = ln(V_0) + ln(V_1) + ... + ln(V_n)
المجموع غير مألوف
2
U_n = ln(V_n) = ln(2) + nln(3)
U_n حسابية أساسها ln(3)
3
S_n = (n+1)/(2)[ln(V_0) + ln(V_n)]
تطبيق قانون المتتالية الحسابية
الخلاصة
- لا تطبق القوانين على مجاميع التلسكوبية مباشرة
- ابحث عن العلاقة بين المتتالية المعطاة والمتتالية الأساسية المدروسة V_n
- اللوغاريتم يحول الجداء الهندسي إلى مجموع حسابي
⚠️ الخطأ الشائع
S = عدد الحدود × (أول + آخر) / 2 لدالة لوغاريتمية
تأكد أولاً أن الدالة كاملة (مثلا ln V_n) هي فعلا متتالية حسابية
أثبت نوعها قبل الجمع
خطوات المتتاليات
كيف تحسب الحد العام لمتتالية حسابيةكيف تحسب مجموع n حد لمتتالية حسابيةكيف تحسب الحد العام لمتتالية هندسيةكيف تحسب مجموع n حد لمتتالية هندسيةكيف تثبت أن متتالية حسابيةكيف تثبت أن متتالية هندسيةكيف تدرس رتابة متتاليةكيف تدرس تقارب متتاليةكيف تتعامل مع متتالية معرفة بدالة U_{n+1} = f(U_n)كيف تحسب مجاميع متتاليات غير مألوفةأنت هنا
كيف تحسب مجاميع متتاليات غير مألوفة
إذا طُلب مجموع دالة متتالية T_n = f(V_n)، فلا تحسبها مباشرة! يجب إعادة كتابة المجموع بدلالة متتالية أساسية (حسابية أو هندسية) تعرف كيف تجمعها.
- إذا كانت V_n هندسية أساسها q، فإن ln(V_n) حسابية أساسها ln(q)
- مجموع كسور 1/V_n أو ضرب مجاميع يعتمد على استخراج V_n من عبارة العلاقة التراجعية أولاً