كيف تدرس رتابة متتالية
U_(n+1) - U_n
| الشرط | النتيجة |
|---|---|
| U_(n+1)-U_n > 0 | متزايدة ↗ |
| U_(n+1)-U_n < 0 | متناقصة ↘ |
| U_(n+1)/U_n > 1 (U_n>0) | متزايدة ↗ |
الحل خطوة بخطوة
U_n = n^2 - 5n
1
U_(n+1)-U_n = (n+1)^2-5(n+1)-n^2+5n
نحسب
2
= n^2+2n+1-5n-5-n^2+5n
ننشر
3
= 2n-4
نبسّط
4
2n-4>0 ⟺ n>2
متزايدة ابتداءً من n=3
الخلاصة
- الطريقة 1: ادرس إشارة Un+1 - Un
- الطريقة 2: إذا Un>0 ادرس Un+1/Un
- الطريقة 3: إذا Un = f(n) ادرس f'
⚠️ الخطأ الشائع
المتتالية متزايدة لأن U₃>U₂
يجب الإثبات لكل n وليس لحالة واحدة
ادرس الإشارة العامة
خطوات المتتاليات
كيف تدرس رتابة متتالية
رتابة المتتالية تُدرس بثلاث طرق: إشارة Un+1−Un، أو مقارنة Un+1/Un بالـ 1، أو دراسة الدالة f المولّدة.
- الطريقة الأولى (الفرق) تعمل دائمًا، الثانية (النسبة) فقط عندما Un>0
- إثبات الرتابة لحالة خاصة (مثل U₃>U₂) لا يكفي