كيف تثبت خاصية بالتراجع (البرهان بالمراجعة)
P(n_0) ∧ [P(n)⟹ P(n+1)]
1. التأسيس: نثبت P(n_0)
الخطوة الأولى
2. الوراثة: نفترض P(n) ونثبت P(n+1)
الخطوة الثانية
3. الخلاصة: P(n) صحيحة ∀ n ≥ n_0
الاستنتاج
الحل خطوة بخطوة
Σ_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/(2)
1
P(1): 1 = (1 × 2)/(2) = 1 ✓
التأسيس
2
نفترض P(n) ونثبت P(n+1)
الفرضية
3
Σ_(k=1)^(n+1) k = (n(n+1))/(2)+(n+1)
نضيف الحد
4
= ((n+1)(n+2))/(2) ✓
P(n+1) محققة
الخلاصة
- 3 خطوات: تأسيس + وراثة + خلاصة
- التأسيس: تحقق عند n₀
- الوراثة: افترض P(n) واثبت P(n+1)
⚠️ الخطأ الشائع
نكتفي بالتحقق عند n=1,2,3
يجب الإثبات العام P(n)⟹P(n+1)
أمثلة محدودة لا تشكّل برهانًا
خطوات البرهان والإثبات
كيف تثبت خاصية بالتراجع (البرهان بالمراجعة)
التراجع يثبت لكل n: تأسيس (n₀ يعمل) + وراثة (P(n) → P(n+1)) + خلاصة — 3 خطوات إجبارية.
- التحقق عند n=1,2,3 ليس برهانًا — يجب الإثبات العام
- نسيان الخلاصة (الخطوة 3) يُفقد نقاطًا في البكالوريا