كيف تحل معادلة ax + by = c
ax + by = c
ax+by=c لها حل ⟺ PGCD(a,b) | c
شرط الوجود
نجد حلاً خاصًا من بيزو ثم الحل العام
الطريقة
الحل خطوة بخطوة
3x+5y=1
1
PGCD(3,5)=1 | 1 ✓
حل موجود
2
5=3×1+2, 3=2×1+1
إقليدس
3
1=3-2=3-(5-3)=2×3-5
عكس إقليدس
4
x_0=2, y_0=-1
حل خاص: 3(2)+5(-1)=1
الخلاصة
- تحقق: PGCD(a,b) يقسم c
- أوجد حلاً خاصًا بعكس إقليدس
- الحل العام: x=x₀+bt, y=y₀-at
⚠️ الخطأ الشائع
3x+5y=2 → نقسم على 2: 1.5x+2.5y=1
PGCD(3,5)=1 يقسم 2 → حل موجود، اضرب حل بيزو بـ 2
لا تقسم! اضرب الحل الخاص
خطوات القسمة والموافقات في Z
كيف تحل معادلة ax + by = c
ax+by=c لها حل صحيح ⇔ PGCD(a,b) يقسم c — الحل الخاص ببيزو ثم الحل العام.
- الحل العام: x=x₀+bt, y=y₀-at لكل t في ℤ
- إذا PGCD(a,b) لا يقسم c فلا حل صحيح